Функции, о которых мы рассказывали до сих пор, называются элементарными. То же звание носят их всевозможные комбинации с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня. Употребляя понятия, речь о которых еще впереди, скажем рада полноты, что обратные и сложные функции, полученные из перечисленных, также называются элементарными.
Не нужно думать, что в математике есть принцип отбора, по которому функции зачисляются в разряд элементарных. Так распорядилась история.

Функции, названные элементарными, раньше, чем прочие, появились в математике и сыграли важную роль в ее развитии и ее приложениях. Опыт их использования богат, их символы привычны.

Если быть строгим, торнадо признать, что функция, изображенная на рисунке (ее называют «абсолютная величина X», или «модуль X»), почти столь же проста, столь же элементарна, как и линейная функция.

А функция Хевисайда, изображение которой приведено следующим? Состоящая из двух горизонталей, она-то уж совсем элементарна. Но появившаяся в математике на рубеже прошлого и нашего веков, она уже не получила звание элементарной.

…«Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуемые, иначе такое бросание будет пустою забавою». Последуем совету мудрого Козьмы Пруткова и понаблюдаем за кругами на воде. Вот что мы увидим, если остановим мгновение и рассечем пополам водную толщу.

Просматривая атлас функций — не найдется ли там чего похожего? — мы бы крикнули «эврика!» на странице, где изображены так называемые функции Бесселя.

Функции Бесселя рождены для того, чтобы описывать процессы в цилиндрических системах координат. Колебания жидкости в топливном баке взлетающей ракеты, поведение плазменного шнура в магнитном поле, распространение тепла вокруг тепловыделяющего стержня в ядерном реакторе — в любом из этих случаев найдется применение функциям Бесселя.
Для этих функций введен особый символ, для них,как для синусов и логарифмов, составляются таблицы, однако в разряд элементарных они не занесены.

«А за окном то вверх взлетали, то вниз ныряли провода»,— вот непременный штрих картинки, которую видит из вагонного окошка пассажир поезда дальнего следования.

Впрочем, чтобы увидеть эти красивые взлеты и спады, не нужно отправляться в дальнюю дорогу. Ведь точно по такому же закону провисает и цепочка ходиков, и веревка, на которую хозяйка собирается вешать белье.

Оказывается, этот изящный прогиб математически описывается полусуммой двух экспонент — одна с плюсом, другая с минусом перед аргументом. Называется такая функция цепной линией.

Есть у нее и другое название — гиперболический косинус. Оно связано с чисто математическими свойствами функции и, казалось бы, затеняет ее связи с физической реальностью. Это не так: абстрактность второго названия при желании можно понять как указание на то, что цепная линия пригодна не только для математического описания провисающих проводов и веревок.

Эта красивая функция задает, например, форму мыльной пленки, натянутой между двумя проволочными кольцами: если посмотреть на эту прозрачную трубку сбоку, ее абрис будет представлять собой цепную линию.

Коль скоро речь пошла о гиперболическом косинусе, нельзя не упомянуть о гиперболическом синусе — полуразности экспонент, одна с плюсом, другая с минусом перед аргументом. Существует в математике и гиперболический тангенс, который, как и в тригонометрии, конструируется в виде отношения синуса и косинуса, разумеется, гиперболических.

Определение тангенса — не единственная аналогия между функциями гиперболическими и тригонометрическими. Формулы, связывающие между собой гиперболические функции, весьма похожи на формулы для тригонометрических функций.

В коллекции математических шуток есть такой вопрос: каким по величине покажется угол в пять градусов, если его разглядывать в лупу с десятикратным увеличением?
Угол, конечно же, не изменится. Ответ как будто очевиден. И все-таки давайте обсудим этот оптико-геометрический феномен пообстоятельнее.

На рисунках одна и та же фигура, но выполненная в разных масштабах, словно рассматриваемая через лупы со все большим увеличением. Все сильнее удлиняются стороны треугольников, радиус окружности. Но присмотритесь: они увеличиваются всегда в одно и то же число раз. Отношения их длин не изменяются.
Эта неизменность естественным образом связана с постоянством углов на наших разномасштабных рисунках: ведь рисунки подобны друг другу. Такая связь некогда и подсказала математикам мысль: мерить углы не традиционными градусами, а числами — отношениями линейных элементов тех фигур, которым принадлежат углы.

Элементы, которые наиболее удобно использовать для этой цели, мы вычертили пожирнее. Они образуют сектор. Можно разделить длину дуги сектора на его радиус и частное назвать величиной секториального угла (на рисунках он отмечен дужкой).
Хороша ли такая мера? Однозначна ли? Не приведет ли к недоразумениям? Давайте разберемся.

Представьте, что на каждом рисунке исчезло все, кроме сторон угла, о котором идет речь. Проведем дугу с центром в вершине этого угла, от одной его стороны до другой. Каким бы ни был радиус дуги, огромным ли, крохотным ли, возникший сектор будет подобен тем секторам, что выделены на прежних рисунках. Точно таким же будет отношение длины дуги, стягивающей угол, к ее радиусу. А это значит, что предложенный метод определяет величину угла совершенно однозначно.

Описанный способ измерять углы называется радианной мерой.
Освоить ее нетрудно. Известно, что длина окружности радиуса R равна 2πR. Следовательно, полный угол, который она охватывает, будет равен 2π, если его измерять только что описанным способом. Прямой угол, вчетверо меньший полного, тогда выразится числом π/2, угол в 35° — числом π/4 , в 30° — числом π/6 и так далее.

Если радианную меру вам захочется обратить в градусную и наоборот, учтите, что они пропорциональны друг другу и закон пропорциональности таков: угол в 1° выражается в радианной мере числом 0,017453.., а угол, равный единице в радианной мере, в градусной составляет 57°17’44,8″… (дуга окружности, стягивающая такой угол, по длине равна своему радиусу).

И пусть вас не удивляет, если в дальнейшем мы будем говорить «синус двойки», «тангенс половины». Зная, как соразмерены градусная и радианная меры, вы можете прикинуть в уме: двойка — это примерно сто четырнадцать градусов, половина — чуть меньше двадцати девяти.

Такой пересчет удобен на первых порах знакомства с радианной мерой. Надеемся, что впоследствии вы убедитесь, что она гораздо удобнее градусной.

Вы увидите, например, что тригонометрические функции встречаются не только в задачах, связанных с углами, поворотами, вращением. Если аккуратно снять шкурку с пластика колбасы, порезанной наискосок, то эта гибкая полоска, расправленная на столе, превратится в волну синусоиды.

А вот пример посерьезнее. По синусоиде изгибается линейка, сжатая с концов, упругая балка под непомерной нагрузкой.
Как поточнее перенести форму прогнувшейся линейки на график? Какие единицы откладывать по горизонтальной его оси? Аргумент синуса мы привыкли выражать в градусах. Но как измерить в них расстояние между концами прогнувшейся линейки?

Вот тут и обнаруживает свои преимущества, радианная мера. Выберем единицу измерения так, чтобы расстояние между концами линейки выражалось числом π. Отрезок такой длины отложим, на оси абсцисс и построим на нем график синуса.
Несколько характерных точек можно нанести на график сразу.

Синус прямого угла, как известно, равен единице, а радианная мера прямого угла — π/2. Это число соответствует середине отрезка, отложенного на оси абсцисс,— значит над нею следует поставить точку с ординатой, равной единице. Синус 30° равен половине, а радианная мера этого угла — π/6. На графике появляется еще одна точка с координатами π/6 и π/2.

Так, точка за точкой на координатной плоскости возникает аккуратная синусоида.

Почему трамвай работает на постоянном токе? Фольклор отвечает на этот вопрос так: если бы он работал на переменном, рельсы пришлось бы укладывать по синусоиде.
Шутка напоминает о том, что переменный ток изменяется во времени по закону синуса.

Откуда же здесь берется синусоида? Обратимся к упрощенной схеме динамомашины — источника переменного тока. Ток возникает в рамке, которая равномерно вращается в однородном магнитном доле. Величина тока определяется скоростью изменения магнитного потока, пронизывающего рамку.

Рисунки показывают последовательные стадии этого изменения. На них мы обнаруживаем все тот же прямоугольный треугольник, да еще и в том же удобном расположении, к которому мы пришли, определяя функцию синуса. Гипотенуза этого треугольника вновь постоянна, а катет, удвоенной длиною которого можно измерить величину магнитного потока (отмечено фигурной скобкой), пронизывающего рамку, меняется по закону синуса в зависимости от угла поворота рамки. Поскольку рамка вращается равномерно, угол ее поворота может служить мерой времени. Все сказанное позволяет заключить: магнитный поток, пронизывающий рамку, меняется во времени по закону синуса.

По мере вращения рамки магнитный поток пронизывает ее то с одном, то с другой стороны, и это выражается в сменах его знака — в полном соответствии с течением синусоиды. Оборот за оборотом — нарастания и спады потока в точности повторяются снова и снова. Так вдоль оси абсцисс одна за другой выстраиваются волны синусоиды, похожие друг на друга, как две капли воды.

Но это лишь график магнитного потока. Теперь нужно оценить, какова в каждый момент времени скорость его изменения — она-то и определяет ток в рамке.

О том, как это делается, мы поговорим позже, когда речь пойдет о производных. А пока приведем без пояснений соответствующий график.

Он имеет вид синусоиды, сдвинутой на четверть волны влево. Точное название этой кривой — косинусоида. Однако очень часто из-за сходства с синусоидой ее ошибочно называют так же. В этом нет ошибки лишь в том случае, если начало отсчета аргумента не указано.

Стоит отметить, что косинусоида, если рассматривать ее как функцию угла, имеет столь же тесное отношение к прямоугольным треугольникам, что и синусоида. Если построить прямоугольный треугольник с заданным углом и измерить отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе, то получится величина, называемая косинусом. Ее зависимость от угла и описывает косинусоида.

Наконец, для каждого значения угла, при котором строится прямоугольный треугольник, можно измерить отношение катетов — скажем, противолежащего к прилежащему. Эту величину называют тангенсом. Любитель математических выкладок без труда убедится в том, что тангенс угла равен отношению синуса этого угла к косинусу.

Определенные формулы связывают описанные функций и попарно: синус с косинусом, синус с тангенсом, тангенс с косинусом. Эти связи проистекают из того, что все три функции породнены прямоугольным треугольником, через который они определяются.

От греческого имени треугольника — «тригонон» — произошло собирательное название «тригонометрические функции». К ним, кроме синуса, косинуса и тангенса, относятся еще косеканс, секанс и котангенс, соответственно получаемые из перечисленных по правилу обратной пропорциональности.

Иногда в ответ на этот вопрос слышишь: потому что Земля, двигаясь по своей орбите, зимой находится от Солнца дальше, чем летом. Но это совершенно неверно! Ведь орбита Земли — это почти круг, в центре которого находится Солнце. Расстояние нашей планеты от светила меняется слишком незначительно от месяца к месяцу, чтобы это было причиной смены времен года.
Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты.

Взгляните на рисунок: зимой в умеренных широтах солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом в моменты наивысшего подъема над горизонтом солнце приближается к зениту, его лучи падают почти отвесно на те же участки земного шара.

Поток энергии, идущей от Солнца, одинаков во все времена года. Но в зависимости от наклона солнечных лучей она по-разному распределяется по земной поверхности. Больше всего ее приходится на заданный участок поверхности при отвесном падении света. Чем меньше угол, который образуют лучи с поверхностью, тем меньше их приходится на тот же участок.

Именно эту зависимость применяет (быть может, не думая об этом) курортник, загорающий под солнцем юга, когда он поворачивает свой топчан так, чтобы солнечные лучи как можно менее отклонялись от перпендикуляра к плоскости топчана.
Попытаемся определить точно: какая доля солнечной энергии, приходящейся на некоторый участок плоскости при отвесном падении лучей, приходится на него при наклонное падении лучей под тем или иным углом?

На поставленный вопрос можно ответить, проследив эволюцию жирно очерченного прямоугольного треугольника на приведенных чертежах. Гипотенуза, на которую падают солнечные лучи,— всюду одна и та же. Катет, через который входят падающие на нее лучи,— меняется по длине, уменьшаясь вместе с углом, который образуют с гипотенузой падающие на нее лучи.
Очевидно, интересующая нас доля солнечной энергии равна отношению указанного катета к гипотенузе.

Как меняется эта доля в зависимости от угла падения, удобнее судить, если все жирно очерченные прямоугольные треугольники собрать в одну связку, где их катеты расположены параллельно друг другу, а гипотенуза стала радиусом некоторой окружности. И если задан угол, под которым солнечные лучи встречаются с освещаемой поверхностью, нужно отложить его на этой круговой диаграмме, из точки пересечения его наклонной стороны с окружностью опустить перпендикуляр на горизонтальный диаметр и взять отношение этого перпендикуляра к радиусу окружности.

Иными словами, в прямоугольном треугольнике с заданным углом нужно взять отношение противолежащего катета к гипотенузе. Полученное число и укажет интересующую нас долю солнечной энергии.

Число, определенное таким образом и поставленное в соответствие углу, для которого оно определялось, называется синусом этого угла. (См. выше График описанной функциональной зависимости).

Читатель, конечно, узнает не раз виденную синусоиду. Если что-то и кажется здесь непривычным, так это неестественно малая протяженность кривой. Обычно ее рисуют безгранично разбегающейся вдоль оси абсцисс, волна за волной.

Продолжим синусоиду, переведя разговор о ней на темы  электротехники. Продолжение

Как же называется функция, с которой мы познакомились по звездному графику?

Прежде чем отвечать на этот вопрос, мы предложим вам, читатель, несколько других. Вы без труда ответите на них, обратившись к первому из графиков, приведенных на стр. 49.

В какую степень нужно возвысить два с половиной, чтобы поручить шесть с четвертью? Во вторую,— отвечает упомянутый график. А в какую степень нужно возвысить два с половиной, чтобы получить четыре десятых? В минус первую. А чтобы получить два с половиной? В первую. А единицу? В нулевую.
Число, которое нужно употребить показателем степени при указанном основании для того, чтобы получить заданное число, называется логарифмом заданного числа по указанному основанию.

Минус один, нуль, один, два — это логарифмы по основанию 2,5 для чисел 0,4; 1; 2,5; 6,25.

А теперь, не выпуская из памяти всю эту информацию, вернемся к нашему звездному графику. Вот точка с пометкой «ν Дракона А»: абсцисса — около четырех десятых, ордината — примерно минус один. Вот точка «δ Тельца»: абсцисса — один, ордината — нуль. Точка «γ Персея»: абсцисса — два с половиной, ордината — один. Точка «Кастор»: абсцисса — шесть с четвертью, ордината — два.

Итак, ординаты выделенных точек графика являются логарифмами абсцисс, взятыми по основанию два с половиной. Выраженная графиком функциональная зависимость заключается в том, что положительным числам ставятся в соответствие их логарифмы.

Такую функцию естественно назвать логарифмической. А ее график именуют логарифмикой.

В роли основания логарифмов встречаются различные положительные числа. На практике весьма употребительны десятичные логарифмы, основание которых равно десяти. В теоретических исследованиях популярнее так называемые натуральные логарифмы, основанием которых служит уже знакомое нам число е.

Теперь становится понятным общепринятое и, быть может, уже слышанное вами название этого числа: «основание натуральных логарифмов».

Кривая натурального логарифма, так называемая натуральная логарифмика, приведена в предыдущем разделе рядом со звездным графиком·

Одним из первых, кто попытался точно ответить на этот вопрос, был древнегреческий астроном Гиппарх. При его жизни в созвездии Скорпиона вспыхнула новая звезда. Гиппарх был потрясен: звезды смертны, они, как люди, рождаются и умирают.

И чтобы будущие исследователи могли следить за возникновением и угасанием звезд, Гиппарх составил свой звездный каталог. Он насчитал около тысячи звезд и разбил их до видимому блеску на шесть групп. Самые яркие Гиппарх назвал звездами первой величины, заметно менее яркие — второй, еще столь же менее яркие — третьей и так далее в порядке равномерного убывания видимого блеска — до звезд, едва видимых невооруженным глазом, которым была присвоена шестая величина.

Когда ученые получили в свое распоряжение чувствительные приборы для световых измерений, стало возможным точно определять — блеск звезд. Стало возможным сравнить, насколько соответствует данным таких измерений традиционное распределение звезд по видимому блеску, произведенное на глаз.

Оценки того и другого рода сведем на одном графике. От каждой из шести групп, на которые звезды распределил Гиппарх, возьмем па одному типичному представителю. По вертикальной оси будем откладывать блеск звезды в единицах Гиппарха, то есть ее звездную величину, по горизонтальной — показания приборов. За масштабную единицу горизонтальной оси примем блеск звезды «6 Тельца», стоящей посредине в ряду представителей звездного сонма.

Сразу же бросается в глаза: отметки на горизонтальной оси располагаются неравномерно! Объективные (прибор) и субъективные (глаз) характеристики блеска не пропорциональны друг другу!

С каждым шагом по шкале звездных величин прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, как могло бы показаться, а примерно в два с половиной раза. Образно говоря, глаз сравнивает источники света по блеску, задаваясь вопросом «во сколько раз?» — а не вопросом «на сколько?» мы отмечаем не абсолютный, а относительный прирост блеска. И когда нам кажется, что он возрастает или убывает равномерно, в действительности мы шагаем по его шкале все более размашистыми шагами, покрывая при этом поистине гигантский диапазон: в миллион миллионов раз различаются по блеску источники света, воспринимаемые человеческим глазом!

По тому же закону мудрая природа проградуировала и наш слуховой аппарат. И оттого диапазон звуков, внятных человеческому уху — от шелеста листвы до раскатов грома над головой, почти столь же широк.

Кстати сказать, именно в силу описанной физиологической особенности звезды, ярко горящие на ночном небе, не видны днем, тонут в ослепительном блеске солнца, рассеянном по небосводу. И там и здесь сияние звезд дает одну и ту же добавку к свету фона. Однако в первом случае (ночью) эта добавка велика по сравнению с мерцанием неба, во втором же (днем) составляет весьма незначительную долю от солнечного блеска (менее чем миллиардную даже для самых ярких звезд). Оттого и гаснут звезды в лучах утренней зари.

Оттого же и голос солиста, когда его пение подхватывает хор, тонет в многоголосом звучании.

Суть функциональной зависимости, описанной нами на примере зрения и слуха, в том, что возрастанию аргумента в одно и то же число раз всегда соответствует одно и то же приращение функции. Когда аргумент меняется по закону геометрической прогрессии, функция меняется по закону арифметической.

Продолжение

Проницательный читатель наверняка отметил некоторую неполноту, узость нашего описания показательной функции.
Строя ее график за разговором об информационном буме или радиоактивном распаде, мы каждый раз разбивали горизонтальную ось координат на отрезки равной длины и над засечками расставляли точки так, чтобы каждая последующая располагалась вдвое выше или вдвое ниже предыдущей.

Ну, а если бы количество информации возрастало с каждым десятилетием не в два, а, скажем, в два с половиной раза? И соответственно по такому же закону изменялась бы высота точек, наносимых на координатную плоскость. Что — в результате получился бы график уже не показательной функции?
Показательной. Но только с другим основанием, равным двум с половиной.

Новый график, в общих чертах напоминая прежний, устремлялся бы ввысь уже с несколько иной скоростью.
Всмотритесь в него: высота кривой над делениями горизонтальной оси равна последовательным степеням числа два с половиной: минус первая его степень равна четырем десятым, нулевая — единице, первая — двум с половиной, вторая — шести с четвертью и т. д.

Беря в качестве основания все новые положительные числа, мы получали бы все новые показательные функции. Не стоило бы только назначать на роль основания единицу: ведь она остается собой при возведении в любую степень, так что показательная кривая выродилась бы в горизонтальную прямую.

Но есть среди всех чисел такое, которое чаще всех прочих служит основанием показательной функции. О нем как-то раз у нас уже заходила речь: это — число е, равное 2,71828… Выбор пал на него в силу важных его достоинств, распространяться о которых мы пока не имеем возможности.

Так что, если в разговоре о показательной функции ее основание не указывается — знайте, что им служит число e.

Сейчас много говорят об информационном буме. Поток информации захлестывает: утверждают, что ее количество удваивается каждые десять лет.

Изобразим этот процесс наглядно, в виде графика некоторой функции. Примем объем информации в некоторый год за единицу. Поскольку эта величина послужит нам началом дальнейших построений, отложим ее над началом координат, в которых будет строиться график, по вертикальной оси. Отрезок, вдвое больший, восставим над единичной отметкой горизонтальной оси, считая, что эта отметка соответствует первому десятку лет. Еще вдвое больший отрезок восставим над точкой «два», соответствующей второму десятку, еще вдвое больший — над точкой «три»…

Декада за декадой — избранные нами значения аргумента выстроятся по горизонтальной оси в порядке равномерного нарастания, по закону арифметической прогрессии: один, два, три, четыре… Значения функции отложатся над ними, возрастая каждый раз вдвое — по закону геометрической прогрессии: два, четыре, восемь, шестнадцать… (Нетрудно заметить, что эти числа представляют собой последовательные степени двойки — первую, вторую, третью, четвертую и так далее.)

А что если посмотреть, как нарастал поток информации до того года, который принят за начальный? Столь же равномерно, откладывая единицу за единицей, пройдемся по оси абсцисс влево от начала координат и над отложенными значениями аргумента будем наносить на график значения функции уже в порядке убывания — вдвое с каждым шагом.

Теперь соединим все нанесенные точки непрерывной гладкой линией — ведь количество информации нарастает от десятилетия к десятилетию плавно, а не скачками.

Перед нами график так называемой показательной функции.
Как же определяется эта функциональная зависимость, обрисованная покуда лишь легким росчерком пера?

По пути к строгой ее формулировке мы предлагаем вам, читатель, поразмышлять над вопросом: во сколько раз нарастает объем информации за пятнадцать лет, если за декаду он увеличивается вдвое? Пятнадцать лет — это полторы декады. Стало быть, ответ на поставленный вопрос дает высота построенной нами кривой в точке с абсциссой полтора: примерно в 2,83 раза. А теперь обратите внимание: абсциссе «один» на графике соответствует первая степень двойки, абсциссе «два» — вторая степень, абсциссе «три» — третья… Логично заключить отсюда, что число 2,83 есть двойка в степени полтора.

Точно таким же образом график укажет нам любую другую степень двойки — целую или дробную, положительную или отрицательную. Для этого стоит лишь отложить показатель степени на оси абсцисс и измерить в этой точке высоту кривой.

Итак, каждое значение нашей функции есть двойка в степени, равной соответствующему значению аргумента. Так и определяется показательная функция, описанная нами. Число, возводимое в степень (в нашем примере им служила двойка), называется ее основанием.

И еще один термин: график показательной функции именуется показательной кривой. Иногда эту линию называют экспонентой (от латинского «exponere» — «выставлять напоказ»). Многим этот термин знаком по расхожему словосочетанию «экспоненциальный рост», выражающему наиболее броскую черту показательной кривой — ее безудержно крутой взлет.

Примеры подобного роста подыскать нетрудно. Показательная функция непременно встречается при математическом описании таких процессов, в которых скорость изменения некоторого количества в каждый момент пропорциональна самому количеству.

По такому правилу размножается все живое: приплод пропорционален достигнутой численности. По закону все более крутого, экспоненциального роста увеличивается колония микробов в чашке Петри. По такому же закону плодились кролики, за короткий срок заполнившие Австралию.

Природа знает и примеры экспоненциального спада, когда скорость убывания некоторого количества в каждый момент пропорциональна остатку (а стало быть, уменьшается вместе с ним; в атом — характерная черта экспоненциального спада).

Скорость химической реакции сохраняет пропорциональность количеству реагирующих веществ по мере того, как они расходуются с течением времени. (В этой пропорциональности заключается один из важнейших законов химии — так называемый закон действующих масс) .

Скорость радиоактивного распада точно так же соразмерена с количеством еще» нераспавшихся атомов. И термин «период полураспада» прекрасно отражает экспоненциальный характер процесса: по прошествии этого периода число нераспавшихся атомов сокращается вдвое, еще период спустя — вчетверо и так далее.

Если процесс изобразить графиком, то ординаты любых двух точек кривой всегда будут отличаться ровно в два раза, если их абсциссы разнятся на величину периода полураспада. Иными словами, когда аргумент изменяется по закону арифметической прогрессии, функция изменяется по закону геометрической прогрессии (на сей раз убывающей), А в этом — определяющая особенность показательной функции.

Продолжение

Вся богатейшая семья механизмов, окружающих современного человека, начиналась когда-то с семи простых машин. Древние знали рычаг, блок, клин, ворот, винт, наклонную плоскость и зубчатые колеса. Эти нехитрые по теперешним представлениям устройства умножали силу человека. Но… во сколько раз выиграешь в силе — во столько же раз проиграешь в расстоянии. Так гласит золотое правила механики, заключающее в себе теорию семи простых машин.

График, приведенный на этой странице, есть наглядное выражение знаменитого правила. По горизонтальной оси отложена сила, с которой, например, нужно давить на плечо рычага, чтобы поднять заданный груз на заданную высоту, по вертикальной — расстояние, которое пройдет при этом точка приложения силы.

Линия, выражающая такую функциональную зависимость, называется гиперболой.

Если отвлечься от механической сущности графика, то в чистом виде останется выражение обратной пропорциональности. Именно в соответствии с нею хозяйка делит пирог между гостями. Чем больше гостей — тем меньше порции.

Закон обратной пропорциональности глядит на нас и со шкалы радиоприемника. Вы крутите ручку настройки, и стрелка движется вдоль шкалы, на которой два ряда чисел — метры и мегагерцы, длина волн и их частота. Длина волн растет, частота падает. Но присмотритесь: при любом сдвиге стрелки во сколько раз увеличилась длина волны, во столько же раз упала частота.

График гиперболы можно увидеть на лабораторном столе физика, демонстрирующего явления капиллярности. В штативе несколько тонких стеклянных трубочек, расположенных в порядке возрастания диаметров. Известно, что в тонком канале смачивающая жидкость поднимается тем выше, чем меньше его диаметр. Поэтому в самом узком канале жидкость поднялась выше всего, в другом, диаметр которого в два раза больше,— в два раза ниже, в третьем, что толще первого в три раза,— в три раза ниже и так далее.

А теперь опустим в эту же жидкость этакий клин, образованный двумя стеклянными пластинками, сомкнутыми по вертикальному ребру. В узкую щель между стеклами жидкость устремится как в капилляр. Высота ее подъема определится шириной зазора. А он увеличивается равномерно по мере удаления от острия клина. Поэтому свободная поверхность жидкости четко вырисовывает гиперболу — график обратной пропорциональности.

• • •
Так как же все-таки возникла гипербола в стеклянном клине?

В учебнике физики можно отыскать формулу h=k/d:
высота поднятия жидкости h получается делением некоторого коэффициента k на ширину капиллярного зазора d. Зазор в стеклянном клине пропорционален расстоянию от острия клина, иными словами, выражается линейной функцией от этого расстояния, а коэффициент определяется свойствами жидкости (поверхностным натяжением, удельным весом) и с расстоянием от острия клина не меняется, остается постоянным.

Итак, наша гипербола получилась в результате деления простейшей линейной функции, константы на чуть более сложную линейную функцию, выражающую прямую пропорциональную зависимость.

Обе эти функции, как мы знаем, простираются и в область отрицательных значений аргумента. Учтя это, достроим график гиперболы до полного вида. (На нуль, правда, делить нельзя, так что в нуле гипербола не определена, в ее область определения эта точка не входит.)

Факт обратной пропорциональной зависимости можно выразить и иначе, сказав, что связанные ею величины в произведении дают постоянную.

Вспомним примеры из предыдущего раздела — скажем, пример с тортом. Когда число гостей росло, вес порции уменьшался; произведение же этих двух величин оставалось равным постоянному весу торта. А пример с радиоприемником? Произведение длины радиоволны на ее частоту всегда равно скорости света.

Заметим: объединяя в произведении зависимую и независимую переменные, мы получаем примеры так называемого неявного задания функции. Этот термин употребляют во всех тех случаях, когда зависимая переменная не выражена через независимую, а вперемешку с нею, в различных сочетаниях входит в некоторое математическое выражение, приравненное постоянной, а чаще — нулю. Подставив в такое равенство значение независимой переменной, соответствующее значение зависимой подыскивают так, чтобы равенство удовлетворилось. В этом и состоит закон соответствия, который определяет функцию, заданную неявным образом.